Aufgabe:

Bestimme alle Punkte oder Funktionen, die folgende Gleichung erfüllen:

 

Imz=z+12i

 

 

Lösungshinweise:

 

Lösung:

 

1

Imz=z+12i

Aufgabenstellung

(Definitionsbereiche und Wertebereiche)

2

Ima+ib=a+ib+12i   

Einsetzen des Ansatzes

 

  Ima+ib=b

  a+ib+12i=a+b+12i=a2+b+122

Umformungszwischenschritte der rechten und linken Seite der Gleichung.

3

b=a2+b+122

Ein wichtiges Zwischenergebnis.  (Definitionsbereiche und Wertebereiche)  

 

b2=a2+b+1222

Quadrierung (ggf. kommen hierbei weitere Lösungen hinzu.)

 

b2=a2+b+122

 

 

b2=a2+b2+2b12+(12)2

b2=a2+b2+b+14

0=a2+b+14

 

 

4

b=a214

Parabel nach unten geöffnet, Scheitel bei (0; -0.25).

 

 

In dem Falle ergibt sich als Lösung eine nach unten geöffnete Parabel.

 

Wegen folgender Gleichung dürfen die y-Werte nur positiv sein:

b=a2+b+122

 

Insgesamt ergibt sich also als Lösung nur die leere Menge. Die zweite Lösung entsteht durch den Rechenschritt des Quadrierens. Daher immer prüfen, ob das Ergebnis auch gültig sein kann.